Fiche de mathématiques
Ici, désigne un corps commutatif.
Tous les -ev considérés sont supposés de dimension finie
Exemples:
est une matrice carré d'ordre à coefficients réels, .
est une matrice carré d'ordre à coefficients dans , .
est une matrice colonne de .
est une matrice ligne de .
L'égalité entre deux matrices est en fait l'égalité entre deux fonctions, par conséquent deux matrices sont égales lorsqu'elles ont la même taille et les mêmes coefficients.
b- Addition
Remarque :
On ne somme que des matrices de même type.
Exemple :
Remarque:
L'élément neutre de sera noté .
c- Multiplication par un scalaire
Exemple:
Exemple :
Les matrices élémentaires de sont : , , et
Les matrices élémentaires de sont : , et
Exemple de manipulation vectorielle :
Soient , , ,
On se propose de montrer que la famille est une base de .
Il est clair que .
Il suffit donc de montrer que est libre .
Soient tels que :
Matriciellement :
En résolvant le système, on obtient :
Ce qui permet de conclure.
d- Produit
Remarques :
Le produit n'est possible que si le nombre de colonnes de est égal au nombre de lignes de . Le résultat a alors autant de lignes que et autant de colonnes que .
En général , il se peut même que soit défini, mais pas .
Exemples :
n'est pas défini, par contre
Remarque :
La -algèbre n'est commutative que pour , dans ce cas, elle est identifiable à .
Remarque :
:
Donc : commute avec toute matrice de
b- Matrices diagonales et matrices triangulaires
Exemples :
Exemples :
et
Exemples :
c- Puissances d'une matrice carrée
Exemple :
Soit tel que :
calculer ( )
Par calcul simple, ,
On en déduit que pour
Montrons maintenant par récurrence que :
Pour : (vérifié)
Supposons que pour : et montrons que
Résultat :
Remarque :
Attention :
Remarque :
n'implique pas que ou
Par conséquence, possède dans d'autres solutions que et
Par exemple : ,
Exemples :
est idempotente, en effet : .
est nilpotente.
En effet : et
d- Matrices inversibles
Exemple :
La matrice est inversible et :
Remarques :
Pour calculer l'inverse d'une matrice , on prend les deux matrices colonnes et , et on résout le système , où est la matrice colonne inconnue (ie. On cherche , et en fonction de , et ) car :.
Il existe aussi la méthode de "pivot de Gauss" pour calculer l'inverse d'une matrice, on exposera cette méthode plus tard.
Exemple :
Soit
Soit et tels que:
Donc :
Remarque :
Les colonnes et lignes de correspondent respectivement aux lignes et colonnes de .
Exemple :
, donc :
b- Matrices carrées symétriques et antisymétriques
Soient , et sont dites équivalentes et on note si et seulement s'il existe deux matrices inversibles et telles que: .
Soient , et sont dites semblables et on note si et seulement s'il existe inversible telle que :
Remarques :
Puisque les composantes d'un vecteur dépendent de la base choisie, il est nécessaire de préciser celle-ci.
Toutes les matrices des composantes d'un vecteur appartiennent à .
Exemples :
Soit dans , le polynôme , la matrice-colonne des composantes de dans la base canonique est :
Soit dans , la matrice , la matrice-colonne de dans la base canonique est :
b- Matrice des composantes d'une famille de vecteurs
Remarque :
Dans le cas , on retrouve la notion de matrice des composantes d'un vecteur.
Exemples :
Considérons l'espace vectoriel muni de sa base canonique
Soient et quatre vecteurs de
On a :
Soit un -ev de dimension muni d'une base connue, il est clair que :
c- Matrice d'une application linéaire
Remarque :
Lorsque , on dit que est représentée par dans les bases et , ou que représente dans et
La matrice représentative de dépend du choix des bases et , il est donc nécessaire de préciser celles-ci.
Exemples :
Soit l'application linéaire définie par :
Formons la matrice de f relativement aux bases canoniques et respectivement de et
On a :
On en déduit:
Soit tel que : et la base canonique de
On a : , ,
Donc :
Cela veut dire que les éléments de sont les représentations matricielles des éléments de et que les éléments de sont les représentations matricielles de (relativement aux bases et )
Exemple :
Soit un -ev muni d'une base
Soit un endomorphisme de dont la matrice dans est :
Soit
On a:
On peut étudier en étudiant , c'est-à-dire en résolvant l'équation matricielle
Ainsi,
Donc :
b- Compositions d'applications linéaires
c- Bijection et inversibilité
Exemple :
Soit un -espace vectoriel muni de la base et soit un -espace vectoriel muni de la base .
Soit l'application linéaire définie par sa représentation matricielle :
Montrons que est un isomorphisme, pour cela, on montre que est inversible.
Soient et de telles que :
Donc :
On en déduit que est inversible, donc est bijective.
Déterminons :
On a:
Donc :
Soit :
Enfin :
Remarquons que pour montrer que est bijective, il suffit de montrer que l'équation matrcielle n'admet que comme solution, donc le noyau de est se réduit au vecteur nul, donc est injective, et par raison de dimension ( ), est bijective. La méthode présentée ci-dessus permet en plus de ça de déterminer .
d- Quelques endomorphismes particuliers
Exemple :
Soit muni de sa base canonique
La famille est une base de (démonstration simple et laissée en exercice)
Ecrivons la matrice de passage :
On sait que :
Donc :
Exemple:
Soit un muni d'une base et soit définie par : avec .
Soit une famille d'éléments dans définie par : .
Il est simple de vérifier que est libre (laissé en exercice), donc est une autre base de .
La matrice de passage P de à est donc : .
Son inverse peut etre calculé en écrivant les éléments de la base en fonction des éléments de la base : , on a alors: .
Formons maintenant la matrice de dans la base en calculant , et
On obtient aisément que: , et (en utilisant le calcul matriciel : laissé en exercice)
la matrice de dans la base qu'on notera est alors:
On a, par formule de changement de base : , ce qui permet le calcul des puissances de la matrice car:
,
Or, .
On obtient enfin:
:
Exemples:
:
Soit ,
b- Trace d'un endomorphisme
En effet, Soient et deux bases de .
Notons, , et
On sait que :
On a alors :
Donc, la trace de la matrice représentative de l'endomorphisme est indépendante de la base choisie.
Remarque :
On appelle opérations élémentaires sur les colonnes de les transformations suivantes (où désigne la colonne de , ) :
Échange de deux colonnes de entres elles.
Remplacement d'une colonne de par où .
Remplacement d'une colonne de par où et .
On définit de manière analogue les opérations élémentaires sur les lignes de ( qui sont les opérations élémentaires sur les colonnes de la transposée de ).
Exemples :
Opérations effectuées:
Opération effectuée:
Remarque :
Les opérations élémentaires doivent être effectuées successivement et non simultanément.
Contre-exemple :
devient, en effectuant et :
Simultanément : (Faux)
Successivement :
Si la ligne de est nulle, la matrice de obtenue en supprimant dans la ligne a le même rang que . On peut donc supposer que la ligne de est non nulle.
Par permutation de colonnes, on se ramène à une matrice de même rang que , et dont le terme est non nul. En multipliant la colonne par l'inverse de cet élément, on se ramène à une matrice telle que .
Pour chaque de , le remplacement de la colonne par fait apparaître une matrice , de même rang que , et dont la ligne est :
En réitérant le procédé sur la matrice à lignes et colonnes située en bas à droite dans , on arrive, au bout d'un nombre fini d'opérations élémentaires sur les colonnes de et suppressions d'éventuelles lignes ou colonnes nulles, à une matrice (qui a donc le même rang que ) de la forme:
Il est clair que, puisque les colonnes de forment une famille libre, le rang de est le nombre de colonnes de (qui n'est pas nécessairement le nombre de colonnes de )
Exemple :
On en déduit que :
Tous les -ev considérés sont supposés de dimension finie
I- Généralités
1- Définitions
Soit
Définitions - Notations :
On appelle matrice à lignes, colonnes et à éléments (ou coefficients) dans toute application de dans .
Une application est notée sous la forme d'un tableau :
Le couple est appelé le format de la matrice , est le nombre de lignes de , et est le nombre de colonnes de .
Pour , le terme située à la ligne et colonne s'appelle le terme (ou coefficient) de .
On dit que :
est une matrice carrée si et seulement si , on dit alors que est une matrice carrée d'ordre .
est une matrice-colonne (ou matrice unicolonne) si et seulement si .
est une matrice-ligne (ou matrice uniligne) si et seulement si .
Si est carré d'ordre , les sont appelés les éléments diagonaux de , et est appelé la diagonale de .
On note l'ensemble des matrices à lignes, colonnes, et à éléments dans .
On note l'ensemble des matrices carrées d'ordre à éléments dans .
Une application est notée sous la forme d'un tableau :
Le couple est appelé le format de la matrice , est le nombre de lignes de , et est le nombre de colonnes de .
Pour , le terme située à la ligne et colonne s'appelle le terme (ou coefficient) de .
On dit que :
est une matrice carrée si et seulement si , on dit alors que est une matrice carrée d'ordre .
est une matrice-colonne (ou matrice unicolonne) si et seulement si .
est une matrice-ligne (ou matrice uniligne) si et seulement si .
Si est carré d'ordre , les sont appelés les éléments diagonaux de , et est appelé la diagonale de .
On note l'ensemble des matrices à lignes, colonnes, et à éléments dans .
On note l'ensemble des matrices carrées d'ordre à éléments dans .
Exemples:
est une matrice carré d'ordre à coefficients réels, .
est une matrice carré d'ordre à coefficients dans , .
est une matrice colonne de .
est une matrice ligne de .
Définitions :
Soit .
Pour :
La matrice ligne est appelée la ligne de .
On appelle vecteur ligne de le vecteur , c'est un élément de .
Pour :
La matrice colonne est appelée la colonne de .
On appelle vecteur colonne de le vecteur , c'est un élément de .
Pour :
La matrice ligne est appelée la ligne de .
On appelle vecteur ligne de le vecteur , c'est un élément de .
Pour :
La matrice colonne est appelée la colonne de .
On appelle vecteur colonne de le vecteur , c'est un élément de .
2- Opérations sur les matrices
a- Égalité entre deux matricesL'égalité entre deux matrices est en fait l'égalité entre deux fonctions, par conséquent deux matrices sont égales lorsqu'elles ont la même taille et les mêmes coefficients.
Définition :
Soient tels que et
On dit que et sont égaux et on note si et seulement si : :
On dit que et sont égaux et on note si et seulement si : :
b- Addition
Définition :
On appelle addition dans la loi interne, notée , définie par:
et
et
Remarque :
On ne somme que des matrices de même type.
Exemple :
Proporiétés :
La loi est :
Associative et commutative.
Admet un élément neutre qui est la matrice de dont tous les termes sont nuls, on la note ou plus simplement et on la nomme la matrice nulle.
Tout de admet un opposé noté défini par :
Associative et commutative.
Admet un élément neutre qui est la matrice de dont tous les termes sont nuls, on la note ou plus simplement et on la nomme la matrice nulle.
Tout de admet un opposé noté défini par :
Remarque:
L'élément neutre de sera noté .
Théorème:
est un groupe abélien
c- Multiplication par un scalaire
Définition :
On appelle multiplication par les scalaires la loi externe , notée par ou par absence de symbole, définie par :
, :
, :
Exemple:
Propriétés :
Soient , soient
Théorème :
est un -espace vectoriel
Définition :
Pour et , on note la matrice de dont le terme vaut et tous les autres sont nuls. Les matrices sont appelées les matrices élémentaires de
Exemple :
Les matrices élémentaires de sont : , , et
Les matrices élémentaires de sont : , et
Propostion :
est une base de , appelée base canonique de .
, en particulier :
, en particulier :
Exemple de manipulation vectorielle :
Soient , , ,
On se propose de montrer que la famille est une base de .
Il est clair que .
Il suffit donc de montrer que est libre .
Soient tels que :
Matriciellement :
En résolvant le système, on obtient :
Ce qui permet de conclure.
d- Produit
Définition :
Soient , .
On appelle produit de par , et on note ou encore par absence de symbole , la matrice de définie par : où :
:
On appelle produit de par , et on note ou encore par absence de symbole , la matrice de définie par : où :
:
Remarques :
Le produit n'est possible que si le nombre de colonnes de est égal au nombre de lignes de . Le résultat a alors autant de lignes que et autant de colonnes que .
En général , il se peut même que soit défini, mais pas .
Exemples :
n'est pas défini, par contre
Proposition :
Pseudo-distributivité à gauche :
, : .
Pseudo-distributivité à droite :
, : .
, , : .
Pseudo-associativité :
, , : .
, : .
Pseudo-distributivité à droite :
, : .
, , : .
Pseudo-associativité :
, , : .
3- La -algèbre des matrices carrées
a- Présentation
Proposition-Définition :
Le produit matriciel définit une loi de composition interne sur
est une -algèbre associative, unitaire.
On note l'élément neutre du produit matriciel.
est une -algèbre associative, unitaire.
On note l'élément neutre du produit matriciel.
Remarque :
La -algèbre n'est commutative que pour , dans ce cas, elle est identifiable à .
Définition :
On dit que deux matrices et de commutent ssi : .
Remarque :
:
Donc : commute avec toute matrice de
b- Matrices diagonales et matrices triangulaires
Définition :
[ puce] Une matrice carrée est dite diagonale si et seulement si : :
On note l'ensemble des matrices diagonales d'ordre .
On note l'ensemble des matrices diagonales d'ordre .
Exemples :
Notation :
On notera la matrice diagonale de dont la diagonale est la famille
Exemples :
et
Définition :
Soit la matrice carrée .
A est dite triangulaire supérieure (ou: trigonale supérieure) si et seulement si : :
On note l'ensemble des matrices triangulaires supérieures d'ordre .
A est dite triangulaire inférieure (ou: trigonale inférieure) si et seulement si : :
On note l'ensemble des matrices triangulaires inférieures d'ordre .
A est dite triangulaire supérieure (ou: trigonale supérieure) si et seulement si : :
On note l'ensemble des matrices triangulaires supérieures d'ordre .
A est dite triangulaire inférieure (ou: trigonale inférieure) si et seulement si : :
On note l'ensemble des matrices triangulaires inférieures d'ordre .
Exemples :
Proposition :
Théorème :
et sont des sous-espaces vectoriels de
et sont des sous-algèbres de la -algèbre
et sont des sous-algèbres de la -algèbre
c- Puissances d'une matrice carrée
Définition :
Soit
Partant de la définition du produit de matrices carrées, on peut considérer le cas particulier des puissances d'une matrice tel que :
Partant de la définition du produit de matrices carrées, on peut considérer le cas particulier des puissances d'une matrice tel que :
Exemple :
Soit tel que :
calculer ( )
Par calcul simple, ,
On en déduit que pour
Montrons maintenant par récurrence que :
Pour : (vérifié)
Supposons que pour : et montrons que
Résultat :
Remarque :
Attention :
Théorème :
Soit tel que et commutent, on a alors
(binôme de Newton)
(binôme de Newton)
Remarque :
n'implique pas que ou
Par conséquence, possède dans d'autres solutions que et
Par exemple : ,
Définition :
On dit qu'une matrice est idempotente si .
On dit qu'une matrice est nilpotente s'il existe tel que .
On dit qu'une matrice est nilpotente s'il existe tel que .
Exemples :
est idempotente, en effet : .
est nilpotente.
En effet : et
Proposition :
Soit tel que avec
On a alors : :
On a alors : :
d- Matrices inversibles
Définition :
Une matrice de est dite inversible si et seulement s'il existe telle que
Si est inversible, alors est unique et appelée inverse de , et notée
On note l'ensemble des matrices inversibles de
Si est inversible, alors est unique et appelée inverse de , et notée
On note l'ensemble des matrices inversibles de
Exemple :
La matrice est inversible et :
Proposition :
est un groupe appelé groupe linéaire d'ordre .
Théorème : (dit d'inversibilité)
Pour , les propositions suivantes sont équivalantes:
(i) est inversible
(ii) est inversible à droite, ie: :
(iii) est inversible à gauche ie: :
De plus si tel est le cas
(i) est inversible
(ii) est inversible à droite, ie: :
(iii) est inversible à gauche ie: :
De plus si tel est le cas
Lemme :
Soient .
Si : : alors
Si : : alors
Remarques :
Pour calculer l'inverse d'une matrice , on prend les deux matrices colonnes et , et on résout le système , où est la matrice colonne inconnue (ie. On cherche , et en fonction de , et ) car :.
Il existe aussi la méthode de "pivot de Gauss" pour calculer l'inverse d'une matrice, on exposera cette méthode plus tard.
Exemple :
Soit
Soit et tels que:
Donc :
Proposition :
Soit une famille d'éléments dans et soit la matrice telle que . Les propositions suivantes sont équivalentes:
(i) est inversible
(ii) :
De plus, dans ce cas :
Soit la matrice (respectivement ). On a équivalence entre:
(i) est inversible
(ii) Les coefficients diagonaux de sont tous non nuls.
De plus, si tel est le cas, (respectivement )
(i) est inversible
(ii) :
De plus, dans ce cas :
Soit la matrice (respectivement ). On a équivalence entre:
(i) est inversible
(ii) Les coefficients diagonaux de sont tous non nuls.
De plus, si tel est le cas, (respectivement )
4- Transposition
a- Définition et propriétés:
Définition:
Pour toute matrice de , on appelle transposée de la matrice notée de définie par :
(Ainsi le coefficient d'indice de est égal au coefficient d'indice de )
(Ainsi le coefficient d'indice de est égal au coefficient d'indice de )
Remarque :
Les colonnes et lignes de correspondent respectivement aux lignes et colonnes de .
Exemple :
, donc :
Proposition :
L'application est un isomorphisme de -espaces vectoriels.
Proposition : (Propriétés)
:
, :
, :
: et
, :
, :
: et
b- Matrices carrées symétriques et antisymétriques
Définitions:
i)
Une matrice de est dite symétrique si et seulement si :
On note l'ensemble des matrices symétriques d'ordre à coefficients dans
ii)
Une matrice de est dite antisymétrique si et seulement si :
On note l'ensemble des matrices antisymétriques d'ordre à coefficients dans
Une matrice de est dite symétrique si et seulement si :
On note l'ensemble des matrices symétriques d'ordre à coefficients dans
ii)
Une matrice de est dite antisymétrique si et seulement si :
On note l'ensemble des matrices antisymétriques d'ordre à coefficients dans
Proposition :
est un sous-espace vectoriel de de dimension
est un sous-espace vectoriel de de dimension
est un sous-espace vectoriel de de dimension
Proposition :
: (ie. et commutent)
:
:
Théorème :
Les sous-espaces vectoriels et sont supplémentaires dans
5- Matrices semblables et matrices équivalentes
Définitions :
Soient , et sont dites équivalentes et on note si et seulement s'il existe deux matrices inversibles et telles que: .
Soient , et sont dites semblables et on note si et seulement s'il existe inversible telle que :
Proposition :
Les relations et sont des relations d'équivalence respectivement dans et
II- Matrices et applications linéaires
1- Représentations matricielles
a- Matrice colonne des composantes d'un vecteur
Définition :
Soient un -ev , , une base de , , les composantes de dans la base :
La matrice colonne s'appelle la matrice-colonne des composantes de dans , on la note :
La matrice colonne s'appelle la matrice-colonne des composantes de dans , on la note :
Remarques :
Puisque les composantes d'un vecteur dépendent de la base choisie, il est nécessaire de préciser celle-ci.
Toutes les matrices des composantes d'un vecteur appartiennent à .
Exemples :
Soit dans , le polynôme , la matrice-colonne des composantes de dans la base canonique est :
Soit dans , la matrice , la matrice-colonne de dans la base canonique est :
Théorème :
En conservant les notations de la définition; L'application est un isomorphisme de -espace vectoriel.
b- Matrice des composantes d'une famille de vecteurs
Définition :
Soient un -ev , , une base de , , une famille finie de éléments de , et, pour chaque de , les composantes de dans : ,
La matrice de s'appelle la matrice de la famille relativement à la base et est notée ou
La matrice de s'appelle la matrice de la famille relativement à la base et est notée ou
Remarque :
Dans le cas , on retrouve la notion de matrice des composantes d'un vecteur.
Exemples :
Considérons l'espace vectoriel muni de sa base canonique
Soient et quatre vecteurs de
On a :
Soit un -ev de dimension muni d'une base connue, il est clair que :
c- Matrice d'une application linéaire
Définition :
Soient .
Pour chaque de , notons les composantes de dans :
On appelle matrice de relativement aux bases et , et on note , la matrice de définie par :
Pour chaque de , notons les composantes de dans :
On appelle matrice de relativement aux bases et , et on note , la matrice de définie par :
Remarque :
Lorsque , on dit que est représentée par dans les bases et , ou que représente dans et
La matrice représentative de dépend du choix des bases et , il est donc nécessaire de préciser celles-ci.
Théorème :
Soient et deux -espaces vectoriels munis respectivement des bases et
L'application est un isomorphisme de -espaces vectoriels.
L'application est un isomorphisme de -espaces vectoriels.
Définition : (Cas Endomorphisme)
Soient un -ev, , une base de , .
On appelle matrice de relativement à la base , et on note , la matrice de définie par :
On appelle matrice de relativement à la base , et on note , la matrice de définie par :
Exemples :
Soit l'application linéaire définie par :
Formons la matrice de f relativement aux bases canoniques et respectivement de et
On a :
On en déduit:
Soit tel que : et la base canonique de
On a : , ,
Donc :
2- Utilisation du calcul matriciel pour quelques problèmes relatifs aux applications linéaires
a- Image d'un vecteur par une application linéaire - Noyau et image
Théorème :
Soient et deux -espaces vectoriels munis respectivement des bases et ,
La matrice de dans les bases et est l'unique matrice vérifiant :
: avec et
La matrice de dans les bases et est l'unique matrice vérifiant :
: avec et
Définitions :
Soit
On appelle noyau de le sev de noté , défini par:
On appelle image de le sev de noté , défini par:
On appelle noyau de le sev de noté , défini par:
On appelle image de le sev de noté , défini par:
Théorème : (dit de correspondance)
Soient et deux -espaces vectoriels munis respectivement des bases et , ,
Il y a correspondance entre et et entre et
Il y a correspondance entre et et entre et
Cela veut dire que les éléments de sont les représentations matricielles des éléments de et que les éléments de sont les représentations matricielles de (relativement aux bases et )
Exemple :
Soit un -ev muni d'une base
Soit un endomorphisme de dont la matrice dans est :
Soit
On a:
On peut étudier en étudiant , c'est-à-dire en résolvant l'équation matricielle
Ainsi,
Donc :
b- Compositions d'applications linéaires
Proposition :
Soient
On a:
On a:
Corollaire :
Soit un -ev muni d'une base , on a:
:
: pour tout
:
: pour tout
Proposition :
Soient un -ev de dimension muni d'une certaine base , , la représentation matricielle de dans la base , on a:
est nilpotant est nilpotante
est un projecteur
est une symétrie
est nilpotant est nilpotante
est un projecteur
est une symétrie
c- Bijection et inversibilité
Théorème :
Soient et deux -espaces vectoriels de m^eme dimension munis respectivement des bases et , . Les propositions suiventes sont équivalantes:
i- f est un isomorphisme.
ii- A est inversible.
De plus, dans ce cas :
i- f est un isomorphisme.
ii- A est inversible.
De plus, dans ce cas :
Corollaire :
Soient un -espace vectoriel de dimension muni d'une base , . les propositions suivantes sont équivalantes:
i- est un automorphisme
ii-
De plus, si tel est le cas :
i- est un automorphisme
ii-
De plus, si tel est le cas :
Exemple :
Soit un -espace vectoriel muni de la base et soit un -espace vectoriel muni de la base .
Soit l'application linéaire définie par sa représentation matricielle :
Montrons que est un isomorphisme, pour cela, on montre que est inversible.
Soient et de telles que :
Donc :
On en déduit que est inversible, donc est bijective.
Déterminons :
On a:
Donc :
Soit :
Enfin :
Remarquons que pour montrer que est bijective, il suffit de montrer que l'équation matrcielle n'admet que comme solution, donc le noyau de est se réduit au vecteur nul, donc est injective, et par raison de dimension ( ), est bijective. La méthode présentée ci-dessus permet en plus de ça de déterminer .
d- Quelques endomorphismes particuliers
Proposition : (Homothétie vectorielle)
Soit un -ev de dimension .
Dans toute base de , la matrice de l'homothétie vectorielle de rapport est .
Dans toute base de , la matrice de l'homothétie vectorielle de rapport est .
Proposition : (Symétrie et projection)
Soit un -ev de dimension , soient et deux sev supplémentaires de respectivement de dimensions et .
La matrice de la projection sur parallèlement à dans une base adaptée à la supplémentarité de et est :
La matrice de la symétrie sur parallèlement à dans une base adaptée à la supplémentarité de et est :
La matrice de la projection sur parallèlement à dans une base adaptée à la supplémentarité de et est :
La matrice de la symétrie sur parallèlement à dans une base adaptée à la supplémentarité de et est :
III- Changement de base
1- Matrice de passage
Définition :
Soit un -espace vectoriel de dimension muni de deux bases et .
On appelle matrice de passage de la base à la base la matrice de notée ou plus simplement telle que :
On appelle matrice de passage de la base à la base la matrice de notée ou plus simplement telle que :
Exemple :
Soit muni de sa base canonique
La famille est une base de (démonstration simple et laissée en exercice)
Ecrivons la matrice de passage :
On sait que :
Donc :
Proposition :
Soit un -espace vectoriel.
Pour toutes bases de :
Pour toutes bases de :
Théorème: (Caractérisation des bases)
Soit un -espace vectoriel de dimension muni d'une base , et soit une famille de vecteurs de .
Alors est une base de si et seulement si
Alors est une base de si et seulement si
Proposition :
Soit un -espace vectoriel de dimension , des bases de . On a:
est inversible et
est inversible et
2- Nouvelles représentations par changement de base
Théorème : (Nouvelles composantes d'un vecteur)
Soient un -espace vectoriel de dimension , deux bases de , , , et .
On a : et
On a : et
Théorème : (Nouvelle représentation d'une application linéaire)
Soient et deux -espaces vectoriels, deux bases de , deux bases de , , , , et .
On a :
On a :
Théorème : (Nouvelle représentation d'un endomorphisme)
Soient un -espace vectoriel, deux bases de , , , et .
On a :
On a :
Exemple:
Soit un muni d'une base et soit définie par : avec .
Soit une famille d'éléments dans définie par : .
Il est simple de vérifier que est libre (laissé en exercice), donc est une autre base de .
La matrice de passage P de à est donc : .
Son inverse peut etre calculé en écrivant les éléments de la base en fonction des éléments de la base : , on a alors: .
Formons maintenant la matrice de dans la base en calculant , et
On obtient aisément que: , et (en utilisant le calcul matriciel : laissé en exercice)
la matrice de dans la base qu'on notera est alors:
On a, par formule de changement de base : , ce qui permet le calcul des puissances de la matrice car:
,
Or, .
On obtient enfin:
:
3- La trace
a- Trace d'une matrice carrée
Définition :
On appelle trace d'une matrice carrée le scalaire:
Exemples:
:
Soit ,
Proposition :
Pour toutes matrices carrées et de même ordre et pour tous scalaires :
Autrement dit, l'application est une forme linéaire invariante par transposition.
Autrement dit, l'application est une forme linéaire invariante par transposition.
Théorème :
, :
Proposition :
:
b- Trace d'un endomorphisme
Définition :
Soient un -ev de dimension finie et
La trace de est la trace d'une matrice représentative de dans une base quelconque de
La trace de est la trace d'une matrice représentative de dans une base quelconque de
En effet, Soient et deux bases de .
Notons, , et
On sait que :
On a alors :
Donc, la trace de la matrice représentative de l'endomorphisme est indépendante de la base choisie.
Théorème :
La trace définit une forme linéaire sur , vérifiant : :
IV- Rang d'une matrice
1- Définition et propriétés
Définition :
Soit . On appelle rang de , et on note le rang de la famille des colonnes de dans
Théorème :
Si une famille de vecteurs d'un -ev et si est la matrice de dans une certaine base de alors :
Théorème :
Si est une application linéaire d'un -ev vers un -ev et si est la matrice de relative à des bases et respectivement de et alors: .
Proposition :
:
:
:
:
:
Proposition :
Soient , . Alors est équivalente à la matrice définie par:
Remarque :
Proposition :
:
Proposition :
:
2- Opérations élémentaires sur les matrices
Soient ,On appelle opérations élémentaires sur les colonnes de les transformations suivantes (où désigne la colonne de , ) :
Échange de deux colonnes de entres elles.
Remplacement d'une colonne de par où .
Remplacement d'une colonne de par où et .
On définit de manière analogue les opérations élémentaires sur les lignes de ( qui sont les opérations élémentaires sur les colonnes de la transposée de ).
Proposition :
Soit .
Les opérations élémentaires sur les colonnes et sur les lignes de conservent le rang de
Les opérations élémentaires sur les colonnes et sur les lignes de conservent le rang de
Exemples :
Opérations effectuées:
Opération 1 : et
Opération 2 :
Opération 2 :
Opération effectuée:
et
Remarque :
Les opérations élémentaires doivent être effectuées successivement et non simultanément.
Contre-exemple :
devient, en effectuant et :
Simultanément : (Faux)
Successivement :
3- Méthode de Gauss
Soit .Si la ligne de est nulle, la matrice de obtenue en supprimant dans la ligne a le même rang que . On peut donc supposer que la ligne de est non nulle.
Par permutation de colonnes, on se ramène à une matrice de même rang que , et dont le terme est non nul. En multipliant la colonne par l'inverse de cet élément, on se ramène à une matrice telle que .
Pour chaque de , le remplacement de la colonne par fait apparaître une matrice , de même rang que , et dont la ligne est :
En réitérant le procédé sur la matrice à lignes et colonnes située en bas à droite dans , on arrive, au bout d'un nombre fini d'opérations élémentaires sur les colonnes de et suppressions d'éventuelles lignes ou colonnes nulles, à une matrice (qui a donc le même rang que ) de la forme:
Il est clair que, puisque les colonnes de forment une famille libre, le rang de est le nombre de colonnes de (qui n'est pas nécessairement le nombre de colonnes de )
Utilisation : (Calcul de l'inverse)
Soit . On cherche à calculer . On effectue pour cela, en suivant la méthode de Gauss :
[puce ]Des opérations élémentaires uniquement sur les lignes ( ou uniquement les colonnes) de qui transforme en .
Ces mêmes opérations à , la matrice obtenue est .
[puce ]Des opérations élémentaires uniquement sur les lignes ( ou uniquement les colonnes) de qui transforme en .
Ces mêmes opérations à , la matrice obtenue est .
Exemple :
On en déduit que :
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